西安交大研究人员在Katz问题上取得实质性突破

　　 近日，西安交通大学数学与统计学院郗平副教授的论文When Kloosterman sums meet Hecke eigenvalues已在线发表于国际顶尖数学期刊《Inventiones mathematicae》。 在长达67页的论文中，郗平研究了美国科学院院士、普林斯顿大学Nicholas Katz教授提出的Kloosterman和模结构问题（下称Katz问题），即模为素数p的Kloosterman和是否对应于某个Hecke-Maass尖形式的第p个Hecke本征值？若是，则可由素数模的Kloosterman和作为局部因子构造一种Euler乘积，其本质为Hecke-Maass尖形式的L函数，这将为解决著名的Kloosterman和Sato-Tate猜想提供强有力的分析工具。 长期以来，对Katz问题的研究始终处于探索阶段。直至2000年，英国布里斯托大学Andrew Booker教授指出，若Kloosterman和与Hecke本征值一致，则对应的尖形式的相关参数必须足够的大，这为否定回答Katz问题提供了数值上的支持。最近，郗平在Katz问题上取得了实质性突破，即证明了对任意给定的Hecke-Maass尖形式，均存在无穷多个殆素数（即素因子个数不超过给定大小的正整数），使得对应的Kloosterman和与Hecke本征值并非一致。在证明过程中，他利用代数几何中的l-adic上同调给出了Kloosterman和与Hecke本征值的某种非关联性的定量刻画，同时还提出了一类新的Selberg加权筛法，得以更加有效地捕获殆素数。在方法上，不仅深化了巴黎十一大Étienne Fouvry教授与瑞士洛桑联邦理工学院Philippe Michel教授等人的工作，也给出了一种广义的Barban-Davenport-Halberstam型均值定理并发展了渐近形式的二维Selberg筛法，相关思想亦可应用于其它诸多数论问题中。审稿人指出，在该问题上，本文首次成功避开了Maass尖形式的Ramanujan猜想，并认为文中成功处理的情形是令人吃惊的。（来源：西安交通大学数学与统计学院） 相关论文信息：https://doi.org/10.1007/s00222-019-00924-y 郗平于2004年进入西安交通大学理科试验班学习，自2008年加入数论团队，2014年在易媛教授与Philippe Michel教授联合指导下获得博士学位。主要研究领域为数论，涉及代数迹函数的解析理论、素数分布、筛法及自守形式等方面的研究。

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